Lịch sử: tiên đè thứ năm và hình học phi Euclide (ơclit)

Đây la một trong những bài toán khó nhất trong lịch sử nhân loại và lời giải của nó thuộc loại bất ngờ nhất. Câu chuyện của nó là cách đây hơn 2000 năm (thế kỉ 3 TCN). Euclide đưa ra bộ sách có tên “Nguyên Lý” trong đó phần hình học có tiên đề: qua một điểm ngoài một đường thẳng có một đường thẳng song song với đường thẳng kia và chỉ một mà thôi. Trong các sách giáo khoa hay gọi cái này là tiên đề euclide. Các nhà toán học cảm thấy rằng tiên đề này có vấn đề nó không rõ ràng cho lắm, nó giống một định lý hơn là một tiên đề và đã là định lý thì cần được chứng minh. Tuy nhiên mọi nỗ lực chứng minh tiên đề này đều thành công cốc cho tới thế kỉ 19 cha con nhà Bolyai, Gauss và Lobachevski nhận ra một điều là tiên đề này không thể chứng minh. Nó là một tiên đề độc lập nhưng có thể thay bằng một tiên đề khác để ta xây dựng được một hệ thống hình học khác (hình học phi Euclide- Lobachevkski). Sau này Riemann đã tổng quát hóa và xây dựng thêm 1 thứ hình học phi Euclide khác nữa (hình học Riemann). Hình học Riemann là cơ sở cho lý thuyết tương đối rộng (GR) của Einstein sau này